El Límite de Roche
En 1850 el matemático francés Edouard Roche publica una teoría que establece cual es la distancia mínima a la que se puede situar una luna de un planeta o un planeta de una estrella, y explica el porque. Cualquier luna o planeta que se encuentre a una distancia inferior a éste límite resultará destruido por la fuerza de gravedad de su astro anfitrión.
En nuestro querido y próximo Sistema Solar tenemos un ejemplo magnífico en los anillos de Saturno y otro más cercano en las mareas producidas por La Luna, aunque en el Mediterráneo no se produzcan en los océanos Atlántico y Pacífico son algo corriente. En su proximidad La Luna atrae a La Tierra y la parte más maleable del planeta, sus océanos, son “deformados” periódicamente por la fuerza de su gravedad, y a la inversa (algo que explicaré en un próximo artículo sobre nuestro satélite) La fuerza que provoca las mareas son llamadas en consecuencia “Fuerzas de Marea”. Bien, pensemos ahora en un sistema planeta-luna o estrella-planeta y en la interacción que tienen entre ambos por medio de las fuerzas de marea, el planeta atrae a su satélite y tiende a deformarlo, con lo que puede ocurrir que si la fuerza de marea con la que lo atrae es mayor que la fuerza de cohesión, la llamada auto gravitación, con la que el satélite permanece unido el satélite se romperá sin remedio. Y vamos a verlo con un sencillo cálculo, en aras de la sencillez consideremos que el satélite está formado solamente por dos partes (para simplificar el ejemplo) dividido por el eje norte-sur, así tendremos por un lado que la fuerza de cohesión o auto gravedad es:
.........M/2 * M/2 ..........52 * GM2
G = ----------------- = ----------
............(4/5R)2 ...........43 * R2
(M es la masa del satélite y R es el radio) Hemos de tener en cuenta que el centro de masas de las dos mitades del satélite se encuentran a 2/5R del centro del satélite y que entre uno y otro centro de gravedad hay 4/5R. La fuerza de marea a la que esta sujeto el satélite por parte del planeta tendrá la expresión:
.............Mp * M/2
G = -------------------- para la mitad más próxima y
..............(r-2/5R)2
En nuestro querido y próximo Sistema Solar tenemos un ejemplo magnífico en los anillos de Saturno y otro más cercano en las mareas producidas por La Luna, aunque en el Mediterráneo no se produzcan en los océanos Atlántico y Pacífico son algo corriente. En su proximidad La Luna atrae a La Tierra y la parte más maleable del planeta, sus océanos, son “deformados” periódicamente por la fuerza de su gravedad, y a la inversa (algo que explicaré en un próximo artículo sobre nuestro satélite) La fuerza que provoca las mareas son llamadas en consecuencia “Fuerzas de Marea”. Bien, pensemos ahora en un sistema planeta-luna o estrella-planeta y en la interacción que tienen entre ambos por medio de las fuerzas de marea, el planeta atrae a su satélite y tiende a deformarlo, con lo que puede ocurrir que si la fuerza de marea con la que lo atrae es mayor que la fuerza de cohesión, la llamada auto gravitación, con la que el satélite permanece unido el satélite se romperá sin remedio. Y vamos a verlo con un sencillo cálculo, en aras de la sencillez consideremos que el satélite está formado solamente por dos partes (para simplificar el ejemplo) dividido por el eje norte-sur, así tendremos por un lado que la fuerza de cohesión o auto gravedad es:
.........M/2 * M/2 ..........52 * GM2
G = ----------------- = ----------
............(4/5R)2 ...........43 * R2
(M es la masa del satélite y R es el radio) Hemos de tener en cuenta que el centro de masas de las dos mitades del satélite se encuentran a 2/5R del centro del satélite y que entre uno y otro centro de gravedad hay 4/5R. La fuerza de marea a la que esta sujeto el satélite por parte del planeta tendrá la expresión:
.............Mp * M/2
G = -------------------- para la mitad más próxima y
..............(r-2/5R)2
..............Mp * M/2
G = ----------------------- para la mitad más alejada
.............(r +2/5R)2
(Mp es la masa del planeta y r la distancia planeta-satélite) La fuerza de rotura o de disgregación será la diferencia entre éstas:
G = ----------------------- para la mitad más alejada
.............(r +2/5R)2
(Mp es la masa del planeta y r la distancia planeta-satélite) La fuerza de rotura o de disgregación será la diferencia entre éstas:
......................................(4/5) * R * r
G * Mp * M -------------------------------------------
...............................(r-2/5R)2 * (r + 2/5R)2
G * Mp * M -------------------------------------------
...............................(r-2/5R)2 * (r + 2/5R)2
Ahora supongamos que r >> R (que la distancia planeta-satélite es mucho mayor que el radio del satélite R) con lo que la expresión anterior queda como:
G * Mp * M * (4/5) * R / r3
Si hacemos r = l (l es el límite de Roche) las fuerzas de marea y de disgregación serán iguales y por tanto el satélite se romperá:
G * Mp * M * (4/5) * R / r3 = (52/43) * G * M2/R2
Despejando l:
l = 3√(44/5) * 3√( Mp/M * R)
pero teniendo en cuenta que la masa y el radio están relacionadas por la densidad d podemos escribir
l = 3√(44/5) * 3√( dp/d * R)* Rp siendo Rp el radio del planeta
De este modo podemos ver que el Límite de Roche depende de la densidad de los cuerpos a considerar y de su tamaño, es decir, cuanto más masivos sean el límite estará mas lejos y cualquier cuerpo dentro del límite sería destruido, aunque quiero insistir en lo simple del cálculo, el valor de l más común es l = 2,45 Rp para casi cualquier sistema (Tierra-Luna, etc.) con lo que podemos concluir que para casi cualquier sistema el límite estará aproximadamente a 2,5 el radio del planeta y que todo lo que esté por dentro será destruido o no podrá formar una luna.
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